Algebra

Algebra - jeden z najstarszych działów matematyki, powstały w starożytności.

Słowo algebra pochodzi z tytułu dzieła uczonego arabskiego Alchwarizmiego (IX w.) Hisab al-dżabr wa'l-mukabala (O odtwarzaniu i przeciwstawianiu) i dotyczy przenoszenia wyrazów o współczynnikach ujemnych z jednej strony równania na drugą oraz skracania równań stronami. Początkowo, jak wskazuje pochodzenie jej nazwy, algebra zajmowała się rozwiązywaniem równań pierwszego i drugiego stopnia o współczynnikach liczbowych. Wraz z opublikowaniem przez matematyka włoskiego G. Cardana wzorów odkrytych przez matematyka włoskiego N. Tartaglię, nazwanych później wzorami Cardana, do zakresu algebry weszły równania trzeciego i czwartego stopnia.

Nieudane próby znalezienia wzorów na pierwiastki równań wyższych stopni zahamowały na pewien czas rozwój algebry w tym kierunku. Dopiero odkrycie w 1832 przez matematyka francuskiego E. Galois warunków koniecznych i dostatecznych na istnienie takich wzorów zapoczątkowało nowy kierunek badań noszący nazwę teorii Galois (kilka lat wcześniej matematyk norweski N. H. Abel wykazał, że nie istnieją ogólne wzory na pierwiastki równań stopnia wyższego niż czwarty). W 1591 matematyk francuski F. Viete zastąpił współczynniki liczbowe występujące w równaniach literami i wykrył pewne zależności między pierwiastkami równania (bez znajdowania dla nich wzorów) a jego współczynnikami (wzory Viete'a). Odtąd symbole literowe, występujące dotychczas tylko w geometrii, pojawiły się w arytmetyce.

Wyrażenie za pomocą liter podstawowych własności działań arytmetycznych zapoczątkowało tzw. rachunek literowy i wpłynęło na zmianę poglądu na algebrę: z nauki o rozwiązywaniu równań przekształciła się ona w naukę o działaniach na literach (tak właśnie rozumie się obecnie algebrę w nauczaniu szkolnym). Nie jest to jeszcze całkowite oderwanie się algebry od arytmetyki, gdyż działania w tak rozumianej algebry mają wszystkie własności działań arytmetycznych, a litery zastępują liczby.

Z chwilą jednak, gdy określono w matematyce działania na obiektach nieliczbowych, na wektorach, macierzach, zbiorach i innych, pojawiły się nowe typy: algebra wektorów, algebra macierzy, algebra zbiorów i in.

Badanie własności działań w całkowitym oderwaniu od rodzaju obiektów, na których są one określone, stanowi dalszy etap w rozwoju algebry. Klasyfikacja zbiorów ze względu na własności określonych na nich działań wyłoniła wiele działów współczesnej matematyki. Wymowny jest fakt, że jedna z tych teorii nazywa się teorią algebr liniowych (lub teorią algebr); oznacza to, że algebrą został tu nazwany nie dział matematyki, lecz pewien obiekt matematyczny (przykładem algebry liniowej jest zbiór wielomianów z dodawaniem i mnożeniem wielomianów oraz mnożeniem wielomianów przez liczby).

Dalszym krokiem w rozwoju algebry jest wprowadzenie pojęcia algebry ogólnej; jest to para (A,D), gdzie A jest dowolnym zbiorem, a D zbiorem dowolnych działań określonych na zbiorze A. Dział matematyki zajmujący się algebrami ogólnymi nosi nazwę algebry uniwersalnej.