Twierdzenie Pitagorasa – twierdzenie geometrii euklidesowej, przypisane greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi.
Treść twierdzenia[]
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W sytuacji na rysunku obok: suma pól kwadratów "czerwonego" i "niebieskiego" jest równa polu kwadratu "fioletowego".
Dużo lepsze wyjasnienie jest na Wikipedii: patrz http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Pythagoras-2a.gif
Twierdzenie odwrotne[]
Prawdziwe jest następujące twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:
Jeśli dane są trzy dodatnie liczby i takie, że , to istnieje trójkąt o bokach długości i a kąt między bokami o długości i jest prosty.
Trójkąty o kątach 90°, 45°, 45° oraz 90°, 60° i 30°[]
W przypadku trójkąta o kątach 90°, 45°, 45°, obliczenie boku c jest łatwe. Wówczas, trójkąt ten jest połową kwadratu, a jej przeciwprostokątna, przekątną kwadratu. Jeśli przyprostokątną oznaczy się literą a, wówczas przeciwprostokątna ma wymiary .
Trójkąt o bokach 90°, 60° i 30° jest połową trójkąta równobocznego. Jeśli połowę boku oznaczymy jako a, a całą długość boku 2a, to wówczas wysokość trójkąta równobocznego (a tym samym jedna z przyprostokątnych) ma wymiar .
Trójki pitagorejskie[]
- Główny artykuł: Trójki pitagorejskie
Trójki pitagorejskie są naturalnymi liczbami, które spełniają warunek twierdzenia Pitagorasa. Po raz pierwszy tego typu liczby pojawiły się już 1 500 r. p.n.e., które należały do Babilończyków. Przykładowymi tego typu liczbami są:
- 3, 4, 5
- 6, 8, 10
- 5, 12, 13
- 60, 80, 100